Exemplo de uso da teoria da relatividade de Einstein com um exemplo de acelerador de partículas

A teoria da relatividade de Einstein, tanto a relatividade restrita quanto a geral, tem implicações importantes no funcionamento de aceleradores de partículas. Vou dar um exemplo prático de como a relatividade restrita entra em jogo.

Exemplo: Acelerador de partículas e a relatividade restrita

Imagine um acelerador de partículas, como o Grande Colisor de Hádrons (LHC), na Suíça. Ele acelera partículas subatômicas, como prótons, a velocidades próximas à da luz. De acordo com a relatividade restrita de Einstein, à medida que a velocidade de uma partícula se aproxima da velocidade da luz, sua massa efetiva (ou massa relativística) aumenta. Isso significa que a partícula se torna progressivamente mais difícil de acelerar à medida que sua velocidade aumenta.

O que acontece na prática:

1. Acelerando partículas: No LHC, prótons são acelerados a velocidades altíssimas. À medida que eles se aproximam de 99,9% da velocidade da luz, a teoria da relatividade prevê que a energia necessária para continuar acelerando esses prótons aumenta de forma significativa.

2. Aumento da massa relativística: Segundo a relatividade restrita, a massa de um objeto não é uma constante. A massa de um próton, por exemplo, aumenta à medida que ele se aproxima da velocidade da luz. Isso ocorre porque a fórmula da energia cinética relativística é dada por:

   $$E = \gamma mc^2$$

   onde:

   • $E$ é a energia total da partícula,

   • $m$ é a massa da partícula (a massa em repouso),

   • $c$ é a velocidade da luz,

   • $\gamma$ é o fator de Lorentz, dado por:

     $$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$$

     onde $v$ é a velocidade da partícula.

   Esse fator de Lorentz $\gamma$ aumenta à medida que $v$ se aproxima de $c$, fazendo com que a energia necessária para aumentar ainda mais a velocidade da partícula também cresça significativamente.

3. Implicação para o acelerador: Se um acelerador de partículas não levasse em conta a relatividade, ele subestimaria a quantidade de energia necessária para acelerar as partículas a velocidades próximas à da luz. Em vez de simples aceleração linear, os aceleradores precisam ajustar suas expectativas de acordo com o aumento da massa relativística.

Em resumo:

A relatividade restrita é fundamental no design de aceleradores de partículas porque descreve como a massa de uma partícula aumenta à medida que ela se aproxima da velocidade da luz. Isso implica que os aceleradores precisam fornecer energia crescente para acelerar as partículas a velocidades cada vez mais altas, e também afeta os cálculos de como as partículas interagem durante os experimentos.

Esse fenômeno de aumento da massa é uma das razões pelas quais, no LHC, as partículas nunca atingem exatamente a velocidade da luz, mas se aproximam muito dela.

 

Tabela para entender melhor a energia necessária:

 A seguir, uma tabela com valores de energia ($E$) e o fator de Lorentz ($\gamma$), vamos usar a equação:

$$E = \gamma mc^2$$

onde $\gamma$ é dado por:

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$$

E a massa $m$ do próton (ou qualquer partícula que estamos considerando) é cerca de $1.67 \times 10^{-27}$ kg.

Para simplificar, vamos considerar uma partícula com uma massa em repouso de 1 e ver como o fator de Lorentz ($\gamma$) muda para diferentes velocidades $v$ (como frações da velocidade da luz $c$) e como isso afeta a energia $E$.

Aqui está uma tabela com diferentes valores para $v/c$ (a fração da velocidade da luz) e os valores correspondentes de $\gamma$ e $E$:

$v/c$ (fração da velocidade da luz)	$\gamma$ (fator de Lorentz)	Energia $E = \gamma mc^2$ (em termos de $mc^2$)
0.1	1.005	1.005 $mc^2$
0.2	1.022	1.022 $mc^2$
0.3	1.049	1.049 $mc^2$
0.4	1.067	1.067 $mc^2$
0.5	1.095	1.095 $mc^2$
0.6	1.250	1.250 $mc^2$
0.7	1.400	1.400 $mc^2$
0.8	1.667	1.667 $mc^2$
0.9	2.294	2.294 $mc^2$
0.95	3.202	3.202 $mc^2$
0.99	7.088	7.088 $mc^2$
0.999	22.366	22.366 $mc^2$
0.9999	70.710	70.710 $mc^2$
1.0	Infinito	Infinito

P.S.:

• $v/c$: A velocidade da partícula como fração da velocidade da luz.

• $\gamma$: O fator de Lorentz. À medida que a partícula se aproxima da velocidade da luz, o valor de $\gamma$ aumenta rapidamente.

• $E = \gamma mc^2$: Energia total da partícula. Como $\gamma$ aumenta, a energia total da partícula também aumenta, o que significa que é necessário mais energia para continuar acelerando a partícula conforme ela se aproxima da velocidade da luz.

Observações:

• Para $v/c = 0.1$, a partícula está apenas ligeiramente mais rápida que em repouso, então $\gamma$ é quase 1 e a energia total é quase a energia de repouso.

• À medida que $v/c$ se aproxima de 1 (velocidade da luz), o fator de Lorentz $\gamma$ se torna muito grande, e a energia necessária para continuar acelerando a partícula cresce exponencialmente. Isso mostra o impacto da relatividade no acelerador de partículas.